9.5 三角形的中位线
一、学习目标:
1.探索并掌握三角形的中位线的概念、性质。
2.会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
3.经历探索三角形中位线性质的探索过程,发展学生观察能力及抽象思维能力。
二、预习反馈:
1.预习课本p86-87,掌握三角形中位线的定义及其性质。
2.动手操作
①剪一个三角形记为△ABC;
②分别取AB、AC的中点D、E,连接DE;
③沿DE将△ABC剪成两部分,将△ADE绕点E旋转180°,得四边形BCFD,如图
④四边形BCFD是平行四边形吗?请说明理由。
答:四边形DBCF是平行四边形。
由操作可知:ΔADE与ΔCFE关于点E成中心对称
则CF=AD,∠F=∠ADE
由∠F=∠ADE可得:AB∥CF
又由CF=AD,AD=DB可得:DB=CF
所以四边形BCFD是平行四边形
理由:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
⑤还有什么发现?
答:DE∥BC,DE=½BC
通过探索得知:四边形BCFD是平行四边形
则DF∥BC DF=BC
即DE∥BC DE=½DF=½BC
三角形中位线的概念:
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半
3.说一说三角形的中线与三角形的中位线的区别。
答:三角形的中位线的两端都是中点,三角形的中线一端是中点,另一端是顶点.
4.根据图中的条件,回答问题。
(1)如图(a),已知D、E分别为AB和AC的中点,DE=5,求BC的长。
(2)如图(b),D、E、F分别为AB、AC、BC的中点,AC=8,∠C=70°,求DF的长和∠EDF的度数。
(3)如图(c ),若△DEF的周长为10cm,求△ABC的周长;若△ABC的面积等于20cm,求△DEF的面积。
三、例题精讲:
例1:在四边形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是菱形
证明:∵E、F分别是AB、BC的中点
∴EF=1/2AC
理由:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半
同理:FG=BD/2,GH=AC/2,HE=BD/2.
∵AC=BD
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形
理由:一四边相等的四边形是菱形.
自己完成:例2:如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?
四、巩固训练:
1.一个三角形的周长是12cm,则这个三角形各边中点围成的三角形的周长 。
2.如果一个三角形的面积为8cm2,那么它的3条中位线所围成的三角形的面积为_______cm2。
3.如果四边形ABCD的四边中点依次是E、F、G、H,那么四边形EFGH是_____形.如果AC=24cm,BD=32cm,那么四边形EFGH的周长等于______cm。
4.如图,A、B两地被建筑物阻隔,为测量A、B两地的距离,在地面上选一点C,连接CA、CB,分别取CA、CB的中点D、E.
(1)若DE的长度为36米,求A、B两地之间的距离;
(2)如果D、E两点之间还有阻隔,你有什么方法解决?
5.如图,在△ABC中,AH⊥BC于点H,点E、D、F分别是三边的中点,则四边形EDHF是_______形。
五、课堂小结:
六、课外作业:
1.顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.以上都不对
2.如果四边形的对角线互相垂直,那么顺次连结四边形中点所得的四边形是( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.以上都不对
3.如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形,那么原来的四边形的对角线( )
A.互相平分 B.互相垂直 C.相等 D.相等且互相平分
4.顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是( )
A.等腰梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形或对角线互相垂直的四边形
5.已知△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,AE⊥CD,垂足是E、F是BC的中点,试说明BD=2EF。
6.如图,四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别是AD、BC的中点,延长BA、NM、CD分别交于点E、F。试说明∠BEN=∠NFC。(提示:连结AC并取中点)。